Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке .

Если:

1) функция и ее производная непрерывны при ;

2) множеством значений функции при является отрезок ;

3) , , то справедлива формула

. (4)

Формула (3) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, что:

1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования и (для этого надо решить относительно переменной t уравнения и )).

2. Часто вместо подстановки используют подстановку . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: , .

3. Не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение: Введем новую переменную по формуле . Определим и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда , . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулуподставим старые пределы и . Получим: , откуда и, следовательно, ; , откуда и, следовательно, . Таким образом:


.

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение: Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим , откуда , . Найдем новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . Значит, . Следовательно:

.

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение: Положим , тогда , откуда . Находим новые пределы интегрирования: ; . Имеем: . Следовательно:

.