Комплексные числа

Понятие мнимой единицы- i от французского слова imaginaire - "мнимый", число i называется мнимой единицей и определяется равенством:

i 2 = -1, i = √ -1,

такое определение позволяет извлекать корни из отрицательных чисел.

√-¼ = √ ¼ * √-1= 1/2

i= i

i 2 = -1

i 3 = -1i=-i

i 4 = -ii= -(-1)=1

i 5 = i

i 6 = ii= -1

i 7 = -1i = -i

i 8 = -ii= -(-1)=1

i, -1,-i, 1 .i.-1,-i,1.... c периодом равным 4,

n кратно 4 значение степени 1,

n=4k+1 ......... i

n=4k+2 ......... -1

n=4k+3 ......... -i

Комплексные числа - выражения вида Z= x+iy,

где x и y действительные числа, i -мнимая единица.

два комплексных числа равны Z11+iy1,Z22+iy2, если x1=x2, y1=y2. Z=0, если x=0, y=0

У действительных чисел x и y,

x= Rex- действительная часть комплексного числа Z

y= Imz- мнимая часть числа Z

Два комплексных числа Z= x+ iy и Z`=x- iy называются сопряженными.

Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме Z= x+ iy проводятся по правилам действий над многочленами.

Даны комплексные числа Z1=2+3i, Z1=5-7i. Найти: Z1+Z2, Z1-Z2, Z1Z2

Z1+Z2= 2+3i+5-7i=7-4i

Z1-Z2= 2+3i-5+7i=-3=10i

Z1Z2= (2+3i)*(5-7i)=10+15i-21i в2- 14i= 10+i-21i в 2= 31+ i

Тригонометрическая формула комплексного числа: Z= r(cos q+ i sin q),

где r= |Z| = √ (x 2 + y 2)- модуль комплексного числа

q= arg Z- аргумент комплексного числа, cos q= x / √(x 2 + y 2), sin q= y / √(x 2 + y 2)

из значений q= arg Z выделяется главное значение arg Z, удовлетворяющее условию -п