Пример 9.1. Вычислить дефект массы Δm, энергию связи Есв и удельную энергию связи Есв уд ядра 13Al27 (массовое число А = 27, зарядовое число Z = 13).

Решение. Масса ядра всегда меньше массы свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Δm есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра:

Δm = Z·mр + (A-Z)·mn –mЯ .

Здесь Z – номер элемента в периодической системе (зарядовое число, равное количеству протонов в ядре атома); А –массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); mр , mn , mЯ - массы протона, нейтрона и ядра соответственно.

Как правило, в справочных таблицах приводятся массы нейтральных атомов, но не ядер. Поэтому полученное выражение нужно преобразовать таким образом, чтобы в него входила масса нейтрального атома. Массу ядра можно выразить через массу атома mА и массу электронов, входящих в состав атома. Если mе - масса электрона, то

mЯ = mА – Z mе.

Подставив это в выражение для дефекта массы, получим:

Δm = Z·mр + (A-Z)·mn – mА – Z mе = Z(mр + mе )+(A-Z)mn –mА ,

Здесь (mр + mе ) = mН – масса атома водорода. Поэтому окончательно имеем:

Δm = Z·mН + (A-Z)·mn –mА .

Для ядра 13Al27 получим:

Δm = 13·1,00783 + (27 – 13)·1,00867 - 26,98135 = 0,242 а.е.м.

Используемые здесь значения масс атомов, протонов и нейтронов можно найти в справочных таблицах.

Энергия связи – разность энергий покоя свободных нуклонов , составляющих ядро, и энергии покоя целого ядра. Масса и энергия, как известно, связаны друг с другом по формуле Эйнштейна:

Есв = Δm·c² .

В системе СИ используются размерности: [Δm]=кг, [c²]=м²/c². В ядерной физике используют для удобства внесистемные единицы измерения энергии и массы:

1 МэВ = 1,6·10-13 Дж ; 1 а.е.м. = 1,67·10-27 кг

При переходе к таким единицам получим:

c² = 9 · 1016 Дж/кг =9 · 1016 · 1,67·10-27 / 1,6·10-13 МэВ/ а.е.м.=931 МэВ/а.е.м.

Таким образом, при использовании внесистемных единиц измерения формула для энергии связи примет вид:

Есв = Δm ·931 МэВ.

Для рассматриваемого ядра получим: Есв = 931 · 0,242 = 225,3 МэВ.

Разделив полученное значение на число нуклонов в ядре, получим удельную энергию связи (т.е. энергию связи, приходящуюся на один нуклон):

Есв уд = Есв /А = 225,3/27 = 8,345 МэВ/нуклон.

Пример 9.2. В результате захвата α-частицы ядром изотопа азота 7N14 образуются неизвестный элемент и протон. Написать реакцию и определить неизвестный элемент.

Решение. Запишем ядерную реакцию

7N14 + 2α4 = 1p1 + ZXА .

Суммы массовых чисел и зарядов в левой и правой частях уравнения реакции должны быть равны, т.е. 14+4=1+А , 7+2+1+Z, откуда А=17, Z=8. Следовательно, полученный элемент символически можно записать в виде 8X17 . Из периодической системы элементов следует, что это изотоп кислорода с массовым числом 17: 8О17 .

Пример 9.3. При бомбардировке железа 26Fe58 нейтронами образуется β-радиоактивный изотоп марганца с массовым числом 56. Написать реакцию получения искусственного радиоактивного марганца и реакцию его β-распада.

Решение. Порядковый номер марганца в таблице Менделеева равен 25. Поэтому уравнение реакции имеет вид:

26Fe58 + 0n1 = 25Mn56 + ZXА .

По аналогии с предыдущей задачей находим: А = 3, Z = 1. Таким образом, продуктом реакции, кроме марганца, является тритий – изотоп водорода с массовым числом 3. Реакцию можно записать в виде:

26Fe58 + 0n1 = 25Mn56 + 1Н3 .

Реакция β-распада марганца имеет вид:

25Mn56 =26Fe56 + -1е0 .

Пример 9.4. Поглощается или выделяется энергия в ядерной реакции:

3Li7 + 2He4 = 5B10 + 0n1 + Q ?

Решение. Уравнение ядерной реакции, в ходе которой выделяется или поглощается энергия Q, можно условно записать в виде:

А + В = С + D + Q .

При этом справедлив закон сохранения энергии, записанный в виде:

Q = {MА + MВ - (MС + MD)}c².

Здесь А и В – ядра, вступающие в реакцию (реагенты), С и D – образовавшиеся в результате реакции продукты. Число продуктов (ядер и других частиц) может быть отличным от двух. Предполагается, что выделившаяся (поглощённая) в ходе реакции энергия Q связана только с увеличением (уменьшением) кинетической энергии ядер. Если реакция экзотермическая, то выделение энергии Q>0, и кинетическая энергия продуктов реакции превышает кинетическую энергию реагентов. В случае эндотермической реакции Q<0, кинетическая энергия реагентов превышает кинетическую энергию продуктов. В частности, если кинетической энергией реагентов можно пренебречь, Q равно суммарной кинетической энергии продуктов.

В формуле для Q можно использовать табличные данные о массах нейтральных атомов, поскольку массы электронных оболочек входят в эту формулу с плюсом и с минусом. Подставляем массы нейтральных атомов, выраженные в а.е.м., а также массу нейтрона в а.е.м. Для 3Li7 , 2He4 , 5B10 и 0n1 эти массы соответственно имеют значения: 7,01601 ; 4,0026 ; 10,01294 и 1,00865. Вместо c² подставляем 931 МэВ/а.е.м. (см. пример 9.1) . Получаем:

Q= {7,01601 + 4,0026 – ( 10,01294 + 1,00865)}· 931 = -0,00298·931= -2,77МэВ.

Поскольку Q<0, реакция эндотермическая (идёт с поглощением энергии).

Пример 9.5. Какая энергия выделяется в термоядерной реакции синтеза дейтерия 1Н2 и трития 1Н3 , если одним из продуктов реакции является ядро гелия 2Не4 ? Найти энергию, выделяющуюся при синтезе mD =0,4 г дейтерия и mТ =0,6 г трития.

Решение. Запишем уравнение реакции:

1Н2 + 1Н3 = 2Не4 + 0n1 .

Из условия сохранения массовых и зарядовых чисел следует, что вторым продуктом реакции является нейтрон.

Энергию, выделяющуюся в реакции, можно найти по аналогии с предыдущей задачей:

Q={2,01410 + 3,01605 – (4,0026 + 1,00865)}·931 = 17.6 МэВ.

Данная энергия приходится на один акт реакции. Найдём число атомов N в указанных количествах дейтерия и трития, используя формулы из молекулярной физики. При этом учтём, что молярные массы этих изотопов водорода соответственно МD = 0,002 кг/моль , МТ =0,003 кг/моль. Таким образом:

ND =mD NАD ; NТ =mТ NАТ .

В этих формулах NА - число Авогадро. Произведя расчёт, получим, что количества атомов дейтерия и трития одинаковы и равны примерно 1,2 · 1023 . Из уравнения реакции видно, что на каждое ядро дейтерия приходится одно ядро трития, т.е. в реакцию вступают все ядра. Таким образом, в целом выделяется энергия

W= 17.6 МэВ ·1,2 · 1023 = 3,5 · 1011 Дж.

Пример 9.6. В реакции 1Н2 + 1Н2 = 2Не4 + γ образующийся γ-квант имеет энергию 19,7 МэВ. Найти скорость α-частицы (2Не4), если кинетической энергией исходных ядер дейтерия можно пренебречь.

Решение. По аналогии с предыдущими задачами найдём энергию, выделяющуюся в реакции:

Q = (2 · 2,01410 – 4,00260) · 931 = 23,3 МэВ.

Сюда входят энергия γ-кванта и кинетическая энергия α-частицы. Зная энергию γ-кванта, находим, что кинетическая энергия α-частицы

Е = 23,3 – 19,7 = 3,6 МэВ = 5,76 · 10-13 Дж.

Учитывая, что Е = mv²/2, выражаем скорость: v = (2E/m)½ . Массу α-частицы можно найти, например, из соотношения m=M/NА , где М = 0,004 кг/моль – молярная масса гелия, NА – число Авогадро. После расчётов получим: v = 13·106 м/с .

Пример 9.7. На покоящееся ядро лития налетает α-частица. Какой минимальной кинетической энергией Е должна обладать α-частица для протекания реакции:

3Li7 + 2He4 = 5B10 + 0n1 ?

Решение. В задаче 9.4 было показано, что данная реакция является эндотермической, и для её протекания необходима энергия Q = 2,8 МэВ. Связать её с кинетической энергией налетающей α-частицы можно, применяя к столкновению частиц модель неупругого удара, при котором часть кинетической энергии налетающей частицы преобразуется во внутреннюю.

Воспользуемся теоремой Кёнинга для системы из двух частиц, одна из которых перед ударом покоится:

m2 v0²/2 = mV²/2 + EК´ .

Здесь v0 – скорость налетающей частицы, EК´ - кинетическая энергия частиц относительно системы центра масс, m = m1 +m2 - масса системы двух частиц, V – скорость центра масс, определяемая по закону сохранения импульса:V=m2v0 /m, где m2 – масса налетающей частицы. Поскольку величина mV²/2 до и после столкновения не меняется (теорема о движении центра масс при отсутствии внешних сил), максимальная часть кинетической энергии налетающей частицы, которая может перейти во внутреннюю, равна EК´. Найдём, какую часть δ составляет EК´ от первоначальной кинетической энергии налетающей частицы:

δ = EК´/ ( m2 v0²/2) = (m2 v0²/2 - mV²/2) / ( m2 v0²/2) = m1 /(m1 +m2) .

Здесь m1 – масса покоящейся частицы, m2 – масса налетающей частицы.

Учитывая всё сказанное, для рассматриваемой ядерной реакции получим:

Q = {mLi /(mLi +mα )}·Е.

Выразив отсюда Е и используя относительные атомные единицы массы частиц, получим:

Е = ((7 + 4)/7) ·Q = 4,4 МэВ.

Это и есть минимальная кинетическая энергия налетающей α-частицы, необходимая для протекания данной ядерной реакции.

Пример 9.8. Какова электрическая мощность Р атомной электростанции, расходующей в сутки m = 220 г изотопа 92U235 и имеющей КПД 25 % ? Считать, что при делении одного ядра урана-235 выделяется энергия Q= 200 МэВ.

Решение. Количество распавшихся за сутки (τ = 24 · 3600 с) ядер урана-235 найдём из соотношения: N =m NА /М , где М – молярная масса урана-235.

Количество выделившейся за сутки энергии Е = NQ.

Согласно определению коэффициента полезного действия :

η = Р /Рзатр .

Здесь Рзатр = Е/τ. Из этих выражений находим:

Р = ηmNА Q /( Мτ ) = 53 МВт.