Наиболее известным и часто применяемым в теории вероятностей законом является нормальный закон распределения или закон Гаусса.

Главная особенность нормального закона распределения заключается в том, что он является предельным законом для других законов распределения.

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

Будем говорить, что непрерывная случайная величина Х, принимающая значения Распределение Гаусса (нормальное распределение), подчиняется нормальному закону, если её плотность распределения (дифференциальная функция) имеет вид

Распределение Гаусса (нормальное распределение).

Нетрудно видеть, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: Распределение Гаусса (нормальное распределение)и Распределение Гаусса (нормальное распределение). Достаточно задать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

Заметим, что для нормального распределения интегральная функция имеет вид:

Распределение Гаусса (нормальное распределение).

Покажем теперь, что вероятностный смысл параметров Распределение Гаусса (нормальное распределение)и Распределение Гаусса (нормальное распределение) таков: а есть математическое ожидание, Распределение Гаусса (нормальное распределение)– среднее квадратическое отклонение (то есть Распределение Гаусса (нормальное распределение)) нормального распределения:

а) по определению математического ожидания непрерывной случайной величины имеем

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

Действительно

Распределение Гаусса (нормальное распределение),

так как под знаком интеграла стоит нечётная функция, и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат;

Распределение Гаусса (нормальное распределение)- интеграл Пуассона.

Итак, математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.

б) по определению дисперсии непрерывной случайной величины и, учитывая, что Распределение Гаусса (нормальное распределение), можем записать

Распределение Гаусса (нормальное распределение).

Интегрируя по частям, положив Распределение Гаусса (нормальное распределение), найдём

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

Следовательно Распределение Гаусса (нормальное распределение).

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру Распределение Гаусса (нормальное распределение).

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

В случае если Распределение Гаусса (нормальное распределение)и Распределение Гаусса (нормальное распределение)нормальное распределение называют нормированным (или, стандартным нормальным) распределением. Тогда, очевидно, нормированная плотность (дифференциальная) и нормированная интегральная функция распределения запишутся соответственно в виде:

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

(Функция Распределение Гаусса (нормальное распределение), как вам известно, называется функцией Лапласа (см. ЛЕКЦИЮ5) или интегралом вероятностей. Обе функции, то есть Распределение Гаусса (нормальное распределение), табулированы и их значения записаны в соответствующих таблицах).

Свойства нормального распределения (свойства нормальной кривой):

1. Очевидно, функция Распределение Гаусса (нормальное распределение) на всей числовой прямой.

2. Распределение Гаусса (нормальное распределение), то есть нормальная кривая расположена над осью Ох.

3. Распределение Гаусса (нормальное распределение), то есть ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.

4. Нормальная кривая симметрично относительно прямой х = а (соответственно график функции Распределение Гаусса (нормальное распределение) симметричен относительно оси Оу).

Следовательно, можем записать: Распределение Гаусса (нормальное распределение).

5. Распределение Гаусса (нормальное распределение).

6. Легко показать, что точки Распределение Гаусса (нормальное распределение)и Распределение Гаусса (нормальное распределение)являются точками перегиба нормальной кривой (доказать самостоятельно).

7. Очевидно, что

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

но, так как Распределение Гаусса (нормальное распределение), то Распределение Гаусса (нормальное распределение). Кроме того Распределение Гаусса (нормальное распределение), следовательно, все нечётные моменты равны нулю.

Для чётных же моментов можем записать:

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

8. Распределение Гаусса (нормальное распределение).

9. Распределение Гаусса (нормальное распределение).

10. Распределение Гаусса (нормальное распределение), где Распределение Гаусса (нормальное распределение).

11. При отрицательных значениях случайной величины: Распределение Гаусса (нормальное распределение), где Распределение Гаусса (нормальное распределение).

12. Распределение Гаусса (нормальное распределение).

13. Вероятность попадания случайной величины на участок, симметричный относительно центра распределения, равна:

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

ПРИМЕР 3. Показать, что нормально распределённая случайная величина Х отклоняется от математического ожидания М(Х) не более чем на Распределение Гаусса (нормальное распределение).

Решение. Для нормального распределения: Распределение Гаусса (нормальное распределение).

Далее, запишем:

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0, 0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможными.

Итак, событие с вероятностью 0,9973 можно считать практически достоверным, то есть случайная величина отклоняется от математического ожидания не более чем на Распределение Гаусса (нормальное распределение).

ПРИМЕР 4. Зная характеристики нормального распределения случайной величины Х – предела прочности стали: Распределение Гаусса (нормальное распределение)кг/мм2 и Распределение Гаусса (нормальное распределение)кг/мм2, найти вероятность получения стали с пределом прочности от 31 кг/мм2 до 35 кг/мм2.

Решение.

Распределение Гаусса (нормальное распределение).

3. Показательное распределение (экспоненциальный закон распределения)

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается дифференциальной функцией (плотность распределения)

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

где Распределение Гаусса (нормальное распределение) - постоянная положительная величина.

Показательное распределение определяется одним параметром Распределение Гаусса (нормальное распределение). Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество, по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближённые значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два, или три и т.д.

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

Нетрудно записать интегральную функцию показательного распределения:

Распределение Гаусса (нормальное распределение)

Мы определили показательное распределение при помощи дифференциальной функции; ясно, что его можно определить, пользуясь интегральной функцией.

Замечание: Рассмотрим непрерывную случайную величину Т – длительность времени безотказной работы изделия. Обозначим принимаемые её значения через t, Распределение Гаусса (нормальное распределение). Интегральная функция распределения Распределение Гаусса (нормальное распределение) определяет вероятность отказа изделия за время длительностью t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время, длительностью t, то есть вероятность противоположного события Распределение Гаусса (нормальное распределение), равна

Распределение Гаусса (нормальное распределение).

Функцией надёжности Распределение Гаусса (нормальное распределение) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы изделия (элемента) за время длительностью t. Если длительность времени безотказной работы изделия (элемента) имеет показательное распределение, то функция надёжности, в этом случае, запишется в виде

Распределение Гаусса (нормальное распределение).

Таким образом, показательным законом надёжности называют функцию надёжности, определяемую последним равенством, где Распределение Гаусса (нормальное распределение) - интенсивность отказов.

Свойства показательного распределения:

1. Математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра Распределение Гаусса (нормальное распределение), то есть Распределение Гаусса (нормальное распределение).

Действительно

Распределение Гаусса (нормальное распределение).

2. Распределение Гаусса (нормальное распределение), следовательно Распределение Гаусса (нормальное распределение).

Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

3. Распределение Гаусса (нормальное распределение).

4. Распределение Гаусса (нормальное распределение).

5. Распределение Гаусса (нормальное распределение).

ПРИМЕР 4. Пусть время, необходимое для ремонта станков, распределено по показательному (экспоненциальному) закону с параметром Распределение Гаусса (нормальное распределение). Определить вероятность того, что время ремонта одного станка меньше 6-и часов. Найти среднее время ремонта одного станка.

Решение. Т – время ремонта станка Распределение Гаусса (нормальное распределение).

Тогда можем записать:

Распределение Гаусса (нормальное распределение).

Далее, так как среднее время ремонта – это М( Т ), то

Распределение Гаусса (нормальное распределение)(часа).