Точка x0называется точкой максимумафункции у = f(х), если существует такая δ - окрестность точки x0,что для всех х ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x0).

Аналогично определяется точка минимума функции: x0- точкаминимумафункции, если . На рисунке 8 x1 - точка минимума, а точка х2- точка максимума функции у = f(х).

Рис. 8.

Значение функции в точке максимума (мини­мума) называется максимумом(минимумом)функции. Максимум (минимум) функции называ­ется экстремумом функции.

Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точкахобласти определения. Рассмотрим условия существова­ния экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремума).

Если дифференцируемая функция у = f(х) имеет экстремум в точке x0,тo ее производная в этой точке равна нулю: f '(x0) = 0.

Геометрически равенство f '(x0) = 0 озна­чает, что в точке экстремума дифференцируе­мой функции у = f(х)касательная к ее графи­ку параллельна оси Ох (см. рис. 9).

Рис. 9.

Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если f '(x0) = 0, то это не значит, что x0- точка экстремума. Например, для функции у = х3 ее производная

у= 3х2 равна нулю при х = 0, но х = 0 не точка экстремума (см. рис. 10).

Рис. 10.

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция у = |х| в точке х = 0 производной не имеет, но точка х = 0 — точка минимума (см. рис. 11).

Рис. 11.

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются кри­тическими.

Теорема (достаточное условие экстремума).

Если непрерывная функция у = f(x)дифференцируема в некоторой δ -окрестности критической точки x0 и при переходе через нее (слева направо) производная f '(х) меняет знак сплюса на минус, то x0 есть точка максимума; с минуса на плюс, то x0 - точка минимума.

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстре­мумы.

Чтобы найти точки экстремума данной функции, нужно:

1) найти критические точки функции у = f(х);

2) выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;

3) исследовать знак производной f '(x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

4) в соответствии с теоремой (достаточное условие экстремума) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

Теорема. Если в точке x0 первая производная функции f(x) равна нулю (f '(x0) = 0), а вторая производная в точке x0 существует и отлична от нуля (f "( x0) ≠ 0), то при f "( x0) < 0 в точке x0 функция имеет максимум и минимум - при f "( x0) > 0.