Таќырыбы: Кеңістіктегі түзу.Түзудің канондық және параметрлік теңдеуі. Жазықтық пен түзу арасындағы бұрыш.

Кеңістіктегі түзу

Бұл тарауда тік бұрышты координаталар системасына байланысты кеңістіктегі түзудің әр түрлі теңдеулерін қарастырайық. Кез келген нүкте үш санмен анықталатын болғандықтан, әрбір кеңістіктегі түзу теңдеуінің қандай болатындығы осы нүктенің координаталарына сәйкес параметрге тәуелді болады. Сондықтан жоғарыда қойылған шарттар бойынша түзудің қанша параметрмен және қандай теңдеумен өрнектелетінін анықтаймыз. Мұнымен қатар кеңістіктегі түзулердің өзара байланыстарын және олардың жазықтықтармен қатынасын көрсетейік. Бұл тараудағы негізгі мақсат- тік бұрышты координаталарға байланысты кеңістіктегі түзулердің әртүрлі алгебралық теңдеулерін қорытып шығару.

1. Түзудің векторлық теңдеуі.

Түзудің бойынан бір М1(R1) нүктесі және оған параллель бағыттаушы t векторы берілсе, онда кеңістіктегі түзу толық анықталады.

Түзудің бойынан кез келген бір М(R) нүктесін алсақ (155- сызба),

t

M1 M

R1 R

155-сызба

онда М1М= OM- OM1=R-R1 . Енді бұл теңдікті мынадай түрде жазайық:

R-R1 = t , (1)

мұндағы - параметр, яғни скалярлық көбейткіш. Осыдан

R=R1+ t . (2)

Түзудің бойындағы кез келген М нүктесіне байланысты R радиус- вектор өзгеріліп отырады. Бұл (2) теңдеу кеңістіктегі түзудің векторлық теңдеуі деп аталады. Мұнда параметрінің әртүрлі мәндеріне сәйкес Rрадиус- векторының мәндері табылады, содан түзудің бойындағы нүктелер анықталады. Сондықтан (2) теңдеу кез-келген М(R)нүктесінен өтетін және t векторына параллель болатын түзуді сипаттайды.

2. Кеңістіктегі түзудің жабайы теңдеуі.

Түзудің векторлық теңдеуін қолданып, оның координаталық теңдеуін шығаруға болады. Жоғарыда қарастырылып отырған R-R1 және t векторлары параллель болғандықтан, олардың осьтерге түскен проекциялары өзара пропорционал болады:

(3)

Енді tx=m, ty=n, tz=l деп белгілесек, онда (3) теңдеу былайша жазылады:

(4)

мұндағы М1М={ x-x1, y-y1, z-z1 } және t={m,n,l} векторлары өзара коллинеар болғандықтан, олардың проекциялары өзара пропорционал болады. Бұл (4) теңдеу кеңістіктегі түзудің жабайы теңдеуі деп аталады.

3. Кеңістіктегі екі нүктеден өтетін түзудің теңдеуі.

М1(x1, y1, z1) және М2(x2, y2, z2) нүктелері берілсін. Түзу М1(x1, y1, z1) нүктесінен өтеді және бағыттаушы М1М2={x2-x1, y2-y1, z2-z1} векторына параллель. Сондықтан (4) теңдеу бойынша екі нүктеден өтетін түзудің теңдеуін табамыз:

. (5)

4. Екі түзудің бір жазықтықта жату шарты.

Екі түзу жабайы теңдеулермен берілсін :

, .

Бұл екі түзу бір жазықтықта жатса, онда мына

М1М={ x2-x1, y2-y1, z2-z1 } , t1={m1, n1, l1}, t2={m2, n2, l2} векторлары өзара компланар болады. Сондықтан бұл үш вектордың аралас көбейтіндісі нольге тең :

(6)

(6) теңдік екі түзудің бір жазықтықта жату шартын көрсетеді.

5. Екі жазықтықпен берілген түзудің теңдеуі.

Екі жазықтық жалпы теңдеулермен берілсін :

A1x+ B1y+ C1z+D1=0 ,

A2x+ B2y+ A1z+D2=0 . (7)

Бұлардың коэфициенттерінен екі матрица құрайық :

және .

Осыған сәйкес рангілерді белгілейік : R1(M1), R2(M2). Егер бірінші матрицаның рангісі екіге тең болса (R1(M1)=2) , онда екінші матрицаның рангісі де екіге тең: R2(M2)=2. Сондықтан да өзара параллель болмайтын бұл екі жазықтық бір түзудің бойымен қиылысады. Сөйтіп, егер , онда екі жазықтықтың қиылысқан түзуінің бойындағы кез келген нүктенің координаталары екі жазықтықтың да теңдеуі кеңістіктегі бір түзуді анықтайды. Шындығында, бір түзудің бойымен жүргізілген жазықтықтарды жазықтықтар шоғы дейміз. Осы жазықтықтар шоғындағы әрбір екі жазықтықтың жиындысы әрқашанда бір түзуді кескіндейді. Жоғарғы (7) теңдеулерден x пен y-тің мәндерін z арқылы өрнектейік:

немесе оны қысқаша былай жазамыз :

x=p1z+a1

y=p2z+a2

Мұндағы параметрлердің мәндері :

Мына x=p1z+a1 жазықтықтығы ордината осіне параллель, ал

y= p2z+a2 жазықтығы абсцисса осіне параллель. Сөйтіп, кеңістіктегі түзудің теңдеуі қиылысатын екі жазықтықтың теңдеулері болады. Кеңістіктегі түзудің теңдеуіне төрт параметр кіреді: p1, p2,a1,a2. Бұл (8) түзудің теңдеуі төрт параметрлерімен анықталады. Осы теңдеулерді түзудің проекциялық теңдеулері дейміз.

5. Екі жазықтықпен берілген түзудің теңдеуін жабайы түрге келтіру.

Түзудің теңдеуі екі қиылысатын жазықтықтармен берілсін:

A1x+B1y+C1z-D1=0 ,

A2x+B2y+C2z+D2=0 . (7)

Кеңістіктегі M(a,b,c) нүктесі түзудің бойында жатсын. Берілген М нүктесінен өтетін түзудің теңдеуін іздейік.

Кеңістіктегі түзу М нүктесінен өтетін болғандықтан, бұл нүктенің координаталары берілген түзудің теңдеуін қанағаттандырады. Сондықтан

A1a+B1b+C1с+D1=0 ,

A2a+B2b+C2c+D2=0 , (7’)

Осы (7’) теңдіктерін алдыңғы берілген (7) теңдіктерден алсақ, онда :

A1(x-a)+B1(y-b)+C1(z-c)=0 ,

A2(x-a)+B2(y-b)+C2(z-c)=0 ,

Бұдан мына екі қатынасты табамыз:

,

немесе

,

.

Осыдан мына үш қатынас өзара тең болады :

(9)

Екі жазықтықтың қиылысқан нүктелерінің жиындысы (9) осы түзуді береді. Теңдіктің бөлімдеріндегі коэфициенттерден құрылған параметрлерді белгілейік:

m=B1C2-B2C1 ,

n=A2C1-A1C2 ,

l=A1B2-B1A2 . (9’)

Енді (9) теңдіктер мынадай түрде жазылады :

. (10)

Бұл теңдеулер түзудің жабайы немесе пропорциялық теңдеулері деп аталады. Бұл түзу кеңістіктегі M(a,b,c) нүктесінен өтеді.

Сөйтіп, кеңістіктегі түзу жалпы түрде берілсе, онда ол түзудің қандай нүктеден өтетінін және оның параметрлерін анықтау үшін оны жабайы түрге келтіру керек. Бұл мысалдан түзудің жалпы теңдеуінен оның прекциялық және жабайы теңдеуіне көшуге болатынын көреміз.

Сонымен, кеңістіктегі түзу әртүрлі теңдеулермен анықталады:

1.Жалпы теңдеулер:

A1x+B1y+C1z+D1=0

A2x+B2y+C2z+D2=0

2.Проекциялық теңдеулер:

x=p1z+a1

y=p2z+a2

3. Жабайы теңдеу:

7. Түзудің векторлық және параметрлік теңдеулері. Түзудің бағыттаушы косинустары.

Кеңістікте бір ВМ векторы В(a,b,c) нүктесінен өтіп, координаталар осьтерімен бұрыштарын жасасын. Осы ВМ векторының бойында жатқан түзудің теңдеуін іздейік. М осы түзудің бойындағы кез-келген нүкте болсынҮ М(x,y,z). Координаталардың бас нүктесінен ВМ векторына екі вектор жүргізейік. (156-сызба)

z

M(x,y,z)

B(a,b,c)

R1

R

0 x

y

OM=R , OB=R1. Ал ВМ векторын ВМ=t әрпімен белгілейік. Осы вектордың бойындағы бірлік векторды t0 деп белгілейік. Векторларды қосу ережесі бойынша OM=ОВ+ВМ немесе

R=R1+t0t . (11)

Бұл теңдеу түзудің векторлық теңдеуі болады. Енді OM=Rвекторын үш оське проекцияласақ, онда проекциялау теориясы бойынша (156-сызба):

прхR= x, прхR1+прхt ,

прyR= y, прyR1+прyt ,

прzR= z, прzR1+прzt

немесе x,y,z-тің мәндерін берілген элементтер арқылы жазып, t-ні шығарып тастайық:

x=a+tсos

y=b+tcos

z=c+tcos

.

Осыдан :

(12)

Енді осы (12) теңдеуді түрлендірейік. Ол үшін (12) теңдеудің бөлімін k санына көбейтейік:

немесе

,

мұндағы

m=k cos

n=k cos (13)

l=k cos .

Осыдан түзудің бағыттаушы косинустарын табайық:

m2+n2+l2=k2(cos2 + cos2 + cos2 ) ,

cos2 + cos2 + cos2 =1 ,

m2+n2+l2=k2

(14)

k-нің мәнін (13) теңдікке қояйық:

, ,

(15)

Бұл теңдеулер кеңістіктегі түзудің бағыттаушы косинустарының формуласы деп аталады.

Сонымен, түзудің параметрлері белгілі болса (m, n, l), онда түзудің үш осьтерімен жасайтын бұрыштарын табуға болады.

Егер түзудің жабайы теңдеулерін алып, оның қатынасын t параметрі арқылы белгілесек,

,

онда түзудің параметрлік теңдеулері шығады:

x=a+mt,

y=b+nt,

z=c+t,

мұндағы x,y,z- тер t параметріне тәуелді. Сөйтіп, бұл параграфта түзудің үш түрлі теңдеулерінің өз ара байланыстарын қарастырдық:

1. R2=R1+t0t – векторлық теңдеу

2. - пропорциялық теңдеу

3. x=a+mt

y=b+n t - параметрлік теңдеулер

z=c+lt

Екі түзудің қиылысуы.

Кеңістіктегі екі түзудің жабайы теңдеулері берілсін:

Бұл екі түзу бір нүктеде қиылысса, онда осы теңдеулерді әлгі нүктенің координаталары қанағаттандырады. Сондықтан осы екі теңдеуден x,y,z- ті шығарып, қалған сандардың өзара байланыстарын табайық:

.

Осы үш теңдеуден параметрлерін шығарып, екі түзудің қиылысу шартын табайық:

(17)

Осы (17) формула әрқашанда екі түзудің қиылысу шартын көрсетеді, яғни екі түзу бір нүктеде қиылысса, онда осы теңдеу орындалады.

:

9. Екі түзудің арасындағы бұрыш. Екі түзудің перпендикулярлық және параллельдік шарттары.

Екі түзу берілсін:

Осы екі түзудің арасындағы бұрышты іздейік.

Бірінші түзудің осьтерімен жасайтын бұрыштары , екінші түзудің сол осьтермен жасайтын сәйкес бұрыштары болса, онда олардың бағыттаушы косинустары мынадай болады. (7-пункттегі (15) формула):

(18)

(18’)

Екі түзудің арасындағы бұрышты φ деп белгілесек, онда екі вектордың арасындағы бұрышты анықтайтын формула бойынша (векторлық алгебра):

осыған (18) теңдеулердегі косинустардың мәндерін қояйық:

(20)

Айқасқан екі түзудің арасындағы бұрыш деп, берілген екі түзуге параллель болатын, кеңістіктің кез келген нүктесінен жүргізілген екі түзудің арасындағы бұрышты айтамыз. Бұл бұрыш бірін- бірі 180Ә- қа толықтыратын және сол 180Ә-тан әрқашанда кем болатын екі бұрыштың біреуі болады.

Егер екі түзу өзара перпендикуляр болса ( ) , онда болады. Сонда (20) теңдік былай жазылады:

Осыдан кеңістіктегі екі түзудің перпендикулярық шарты шығады:

. (21)

Егер екі түзу өзара параллель болса (φ=0), онда олардың сәйкес бағыттаушы косинустары тең болады немесе шамалары бірдей, ал таңбалары қарама-қарсы:

Осыдан екі түзудің параллельдік шарты шығады:

(22)

10. Екі нүктеден өтетін түзудің теңдеулері(екінші әдіс).

Кеңістікте екі нүкте берілсін: .

Осы екі нүктеден өтетін түзудің теңдеулерін іздейік. Кеңістікте берілген бір нүктеден өтетін түзудің теңдеулері бізге мәлім:

(4)

Берілген түзу екінші нүктеден де өтетін болғандықтан, оның теңдеулері былайша жазылады:

.

Соңғы теңдеулердің қатынасын t деп белгілейік:

.

Осыдан m,n,l параметрлерін өрнектейік:

Осы m,n,l параметрлерінің мәндерін (4) формулаға қойып, екі нүктеден өтетін түзудің теңдеулерін табайық:

(5)

Егер нүктелері бір түзудің бойында жатса, онда (5) теңдеулерді М3 нүктесінің координаталары қанағттандыру керек. Сондықтан үш нүктенің бір түзудің бойында жату шарты мынадай болады:

(23)

11. Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш.

(157-сызба)

Анықтама.Түзу мен жазықтықтың арсындағы бұрыш деп, оның жазықтыққа түсірілген проекциясы мен түзудің арасындағы кез келген екі сыбайлас бұрыштың біреуін айтамыз. векторларының арасындағы бұрыш анықтама бойынша болады (157-сызба).

Оның мәні: немесе Барлық жағдайда: . Сондықтан - сүйір бұрыш, ал (келтіру формуласы бойынша) .

Түзу мен жазықтықтың теңдеулері берілген:

,

Осы түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табайық.

Жазықтық пен түзудің арасындағы бұрышты деп белгілейік.

Берілген түзу мен жазықтыққа жүргізілген нормальдық вектордың арасындағы бұрыш (157-сызба) (90Ә- ) болады. n= {A, B, C}, t= {m, n, l} векторларының арасындағы бұрыштың косинусы мынадай болады:

немесе , яғни

, (24)

мұндағы .

(AD) түзуі мен Р жазықтығының бағыттаушы косинустары:

Егер =0 болса, онда болады. сондықтан (24) теңдік былай жазылады:

Осыдан түзу мен жазықтықтың параллельдік шарты шығады:

Егер болса, онда AD түзуі Р жазықтығына перпендикуляр, ал нормалына параллель болады. Сонда бұл түзу мен номальдың осьтермен жасайтын бұрыштары бірдей болады. сондықтан түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық шарты мынадай теңдеу арқылы жазылады:

.

12. Түзу мен жазықтықтың қиылысуы.

Түзу мен жазықтықтың теңдеулері берілсін:

.

Осы түзу мен жазықтықтың қиылысатын нүктесін табайық.

Түзу мен жазықтық бір нүктеде қиылысса, онда осы нүктенің координаталары берілген түзу мен жазықтықтың теңдеулерін қанағаттандырады. Сондықтан:

.

Осыдан үш теңдік шығады:

(27)

Бұл тің мәндерін жазықтықтың теңдеуіне қояйық:

Осыдан параметрін табайық:

(28)

1)Егер , яғни теңдеудің бөлімі нольден айрықша болса, онда түзу мен жазықтық бір нүктеден қиылысады.

2) Егер , , онда параметр нің мәні шексіз, ал түзу жазықтыққа параллель болады. Сондықтан нүктесі жзықтыққа жатпайды, оның теңдеуін қанағаттандырмайды.

3) Егер , онда t параметрдің мәні анықталмайды. Бұл жағдайда түзу жазықтықтың бетінде жатады, яғни түзудің барлық нүктесі жазықтықтың нүктесі болады.

13. Нүктеден түзуге дейінгі ара қашықтық.

Кеңістікте нүктесі және түзудің

теңдеуі берілген. Осы берілген нүктеден берілген түзуге дейінгі қашықтықты іздейік.

Берілген нүктеден берілген түзуге дейінгі қашықтықтың формуласын қорытып шығару үшін вектор әдісін қолданайық. Біз мұнда екі вектордың векторлық көбейтіндісін және олардың модульдарын табу жолын пайдаланамыз.

Берілген түзу болсын. - түзудің бойындағы нүкте. түзуді бағыттайтын вектор, оның бағыты осы параметрлерімен анықталады. Вектор болсын. және векторларының векторлық көбейтіндісі:

.

Бұл векторлық көбейтіндінің модулі: . Екі вектордың модульдарын былай белгілейік:

.

Енді берілген М нүктесінен берілген (а) түзуіне дейінгі қашықтық былайша жазылады:

(158-сызбаға қараңыз). Сондықтан жоғарғы теңдік былай жазылады:

.

Осыдан

.

Ал екі вектордың векторлық көбейтіндісі бойынша

.

Бұл векторлық көбейтінді мен векторының модульдары:

.

Осы мәндерді (29) теңдікке қойып, берілген нүктеден берілген түзуге дейінгі қашықтықты табайық:

немесе

(30)

Бұл теңдеуден түбірінің алымы мына үшінші ретті

Анықтауыштың минорларынан құрылған, бөлімі R1 векторының модулі болады.