Санкт-Петербургский Политехнический Университет Петра Великого

Институт Энергетики и Транспортных Систем

Кафедра «Электрические системы и сети»

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Математические задачи энергетики»

Вариант 12

 

 

 

 

 

Выполнил: Лисюк А.С.

Группа: 33212/3

Преподаватель: Карпов А.С.

 

 

Санкт-Петербург

2015 г.

 

1. Цифровое описание расчётной схемы

Расчетная схема:

Граф расчётной схемы:

Цифровое описание вершин графа:

λ1 = [-1-2-3]

λ2 = [+1-5]

λ3 = [+2-4]

λ4 = [+3+4+5]

λ5 = [+6-8-9]

λ6 = [+9+10+12-13]

λ7 = [-6+7]

λ8 = [-7+8-11-12]

λ9 = [-10+11+13]

 

 

Цифровое описание конфигурации расчётной схемы (совокупность структурно ориентированных чисел λ):

= [-1-2-3] [+1-5] [+2-4] [+3+4+5] [+6-8-9] [+9+10+12-13] [-6+7] [-7+8-11-12] [-10+11+13]

 

 

 

Типы ветвей:

Ψ1 = {Ø} (ЗК-тип - замкнутые ключи)

Ψ2 = {2} (Е-тип - источники ЭДС)

Ψ3 = {1,3,4,8} (С-тип - конденсаторы)

Ψ4 = {7} (R-тип – резисторы)

Ψ5 = {9,11,12,13} (L-тип – катушки индуктивности)

Ψ6 = {19} (J-тип – источники тока)

Ψ7 = {Ø} (РК-тип – разомкнутые ключи)

Ψ8 = {5,6} (идеальный трансформатор К7,8 = 0,4)

 

2. Определение компонент орграфа и получение неизбыточного цифрового описания конфигурации расчётной схемы.

Определение непосредственных связей (алгоритм НС):

Исходные данные:

= [-1-2-3] [+1-5] [+2-4] [+3+4+5] [+6-8-9] [+9+10+12-13] [-6+7] [-7+8-11-12] [-10+11+13]

1. Выделить первое с.о.ч. λ из совокупности : [-1-2-3]

2. Занести порядковый номер i числа λ в список η1: η1 = {1}

3. Выделить идентификатор первого элемента из числа λi: 1

4. Среди остальных чисел совокупности ΛК установить такие, которые содержат элементы с выделенным идентификатором. Порядковые номера этих чисел занести в η1, не допуская повторений: η1={1,2}

5. Повторить п. 4 для всех остальных идентификаторов с.о.ч. λi и получить последовательность η1 окончательного состава: η1={1,2,3,4}

Выполнение последующих циклов алгоритма для всех λ даёт:

η2={2,1,4}   η5={5,7,8,6}   η8={8,7,5,9,6}

η3={3,1,4}   η6={6,5,9,8} η9={9,6,8}

η4={4,1,3,2}   η7={7,5,8}

Определение числа компонент связности графа (алгоритм КС):

Исходные данные:

η1= {1,2,3,4}   η6= {6,5,9,8}

η2= {2,1,4}   η7= {7,5,8}

η3= {3,1,4}   η8= {8,7,5,9,6}

η4= {4,1,3,2} η9={9,6,8}

η5= {5,7,8,6}

1.   Образовать из всех списков ηi (i = 1..n) последовательность H: Н:{1,2,3,4},{2,1,4},{3,1,4},{4,1,3,2},{5,7,8,6},{6,5,9,8},{7,5,8},{8,7,5,9,6},{9,6,8}

Присвоить начальное значение номеру компоненты связности: j = 1. Положить æ1 = {Ø}

2.   Выделить первый список из последовательности Н. Элементы этого списка занести в æ1, а сам выделенный список удалить из последовательности Н:

æ1 = {1,2,3,4}

Н: {2,1,4},{3,1,4},{4,1,3,2},{5,7,8,6},{6,5,9,8},{7,5,8},{8,7,5,9,6},{9,6,8}   Выделить второй элемент списка æ1: 2

4.   Выделенный элемент обозначить am: am = 2

5.   Среди оставшихся списков последовательности Н найти тот, первый элемент которого совпадает с am. Дополнить æ1 элементами этого списка, не допуская повторений, а сам список исключить из последовательности Н:

æ1 = {1,2,3,4}

Н: {3,1,4},{4,1,3,2},{5,7,8,6},{6,5,9,8},{7,5,8},{8,7,5,9,6},{9,6,8}

6.   Повторить пп. 3-5 для последующих элементов списка æj. Получим:

æ1 = {1,2,3,4}

Н: {5,7,8,6},{6,5,9,8},{7,5,8},{8,7,5,9,6},{9,6,8}

7.   Если в последовательности Н есть списки, присвоить номер компоненты связности j = j+1 и присвоить æj = {Ø}. Повторить пп. 2-6 для оставшихся списков в последовательности Н. Окончательно получим две компоненты связности:

æ1 = {1,2,3,4}

æ2 = {5,7,8,6,9}

Таким образом, граф расчётной схемы имеет две компоненты связности, которые описываются с.о.ч. совокупности ΛК с порядковыми номерами соответственно 1,2,3,4 и 5,7,8,6,9. Исключив из каждого из этих списков по одному элементу получим неизбыточное цифровое описание графа расчётной схемы в виде совокупности с.о.ч. ΛК:

= [-1-2-3] [+1-5] [+3+4+5] [+6-8-9] [-6+7] [-7+8-11-12] [+9+10+12-13]

 

3. Получение цифрового описания структуры токов и напряжений ветвей расчётной схемы.

 

Дополним совокупность ΛК цифровым описанием соотношения между токами ветвей идеального трансформатора:

I5 - k·i6 = 0

= [+5-k·6]

= [-1-2-3] [+1-5] [+3+4+5] [+6-8-9] [-6+7] [-7+8-11-12] [+9+10+12-13] [+5-k·6]

 

4.   Получение цифрового описания структуры токов и напряжений основных ветвей расчётной схемы.

 

 

Ψ8 = {5.6}

Преобразуем с помощью эквивалентных преобразований так, чтобы идентификаторы 7 и 8 каждое встречалось только в одном числе:

= [-1-2-3] [+1-5] [+1+3+4] [+6-8-9] [-6+7] [-7+8-11-12] [+9+10+12-13] [+1- k·6]

= [-1-2-3] [+1-5] [+1+3+4] [+7-8-9] [-6+7] [-7+8-11-12] [+9+10+12-13] [+1- k·7]

= [-1-2-3] [+1+3+4] [+7-8-9] [-7+8-11-12] [+9+10+12-13] [+1- k·7]

5. Получение характеристик матроида структуры токов и напряжений основных ветвей расчётной схемы.

 

Алгоритм построения базы, кобазы и базисных коциклов (алгоритм БКК):

Исходные данные:

= [-1-2-3] [+1+3+4] [+7-8-9] [-7+8-11-12] [+9+10+12-13] [+1- 7]

Ψ1 = {Ø} Ψ2 = {2} Ψ3 = {1,3,4,8} Ψ4 = {7} Ψ5 = {9,11,12,13} Ψ6 = {10} Ψ7 = {Ø}

1. Копировать совокупность с.о.ч. в Λтек:

Λтек =[-1-2-3] [+1+3+4] [+7-8-9] [-7+8-11-12] [+9+10+12-13] [+1- 7]

2. Объединить множества Ψn в последовательности увеличения индекса n:

Ψ = {2,1,3,4,8,7,9,11,12,13,10}

3. Выделить первый элемент виз множества Ψ: 2

4. Выделенный элемент обозначить ak: ak = 2

5. Если идентификатор ak не содержится ни в одном с.о.ч. совокупности Λтек, то перейти на п. 8. В противном случае с помощью эквивалентных преобразований обеспечить пребывание элемента с идентификатором ak только в одном с.о.ч. совокупности Λтек:

Λтек = [-1-2-3] [+1+3+4] [+7-8-9] [-7+8-11-12] [+9+10+12-13] [+1- k·7]

6. С.о.ч., содержащее элемент с идентификатором ak, перевести в совокупность Λ и исключить из совокупности Λтек:

Λ = [-1-2-3]

Λтек =[+1+3+4] [+7-8-9] [-7+8-11-12] [+9+10+12-13] [+1- k·7]

7. Занести идентификатор ak в множество В и приступить к выполнению п.9: В = {2}

8. Занести идентификатор ak в множество В*

9. Повторить пп. 4-9 для всех ak. Получим множества идентификаторов ветвей базы В и кобазы В* окончательного состава:

В = {2,1,3,8,9,11}

В* = {4,7,12,13,10}

А также совокупность

Λ = [-1-2-3] [+1+3+4] [-3-4- k·7] [+7-8-9] [-9-10+13-12] [+10-11-13]

10. В каждом из с.о.ч. совокупности Λ, начиная с последнего, с помощью эквивалентных преобразований исключить все элементы с идентификаторами из множества В, кроме того, порядковый номер которого в В совпадает с порядковым номером рассматриваемого числа в совокупности Λ. Для исключения использовать только те с.о.ч. совокупности Λ, порядковый номер которых больше порядкового номера рассматриваемого числа:

[-11+10-13]

[-9-10+13-12]

[-8+7+10-13+12]

[-3-4- k·7]

[-1+ k·7]

[-2+4]

11. Частично упорядочить и преобразовать элементы каждого с.о.ч. совокупности Λ: единственный элемент, содержащий идентификатор из базы В разместить первым и с помощью эквивалентных преобразований получить знак минус и коэффициент 1.0. При этом получим совокупность с.о.ч., описывающих базисные коциклы Λ в окончательном виде:

Λ = [-2+4] [-1+ k·7] [-3-4- k·7] [-8+7+10-13+12] [-9-10+13-12] [-11+10-13]

 

 

Алгоритм построения базисных циклов (алгоритм БЦ):

Исходные данные:

Λ = [-2+4] [-1+ k·7] [-3-4- k·7] [-8+7+10-13+12] [-9-10+13-12] [-11+10-13]

В* = {4,7,12,13,10}

1. Выделить первый элемент из множества В*: 4

2. Выделенный элемент обозначить as: as = 5

3. Копировать совокупность с.о.ч. Λ в Λтек:

Λтек = [-2+4] [-1+ k·7] [-3-4- k·7] [-8+7+10-13+12] [-9-10+13-12] [-11+10-13]

4. Образовать с.о.ч. θas, помещая на первое место элемент - as: θ4 = [-4]

5. Выделить в Λтек с.о.ч. λ, содержащее элемент с идентификатором as. Если такого числа нет, то перейти на п. 7:

λ2 = [-2+4]

6. Дополнить с.о.ч. θas элементом, знак которого противоположен знаку элемента с идентификатором as в выделенном числе, коэффициент равен коэффициенту у элемента с идентификатором as в выделенном числе, а идентификатор совпадает с определяющим идентификатором выделенного числа. Исключить выделенное число из Λтек:

θ4 = [-4-2]

Λтек = [-1+ k·7] [-3-4- k·7] [-8+7+10-13+12] [-9-10+13-12] [-11+10-13]

Повторить пп 5 и 6 для всех λ из Λтек, содержащих элемент с идентификатором as:

θ4 = [-4-2+3]

Λтек = [-1+ k·7] [-8+7+10-13+12] [-9-10+13-12] [-11+10-13]

7. Включить с.о.ч. θas в совокупность θ: θ = [-4-2+3]

8. Повторить пп. 2-7 для всех элементов as в множестве В*. В итоге получим совокупность с.о.ч., описывающих базисные циклы θ:

θ = [-4-2+3][-7-k·1+k·3-8][-12-8+9][-13+8-9+11][-10-8+9-11]

6.Выявление особых и неособых ветвей базы и кобазы

В = {2,1,3,8,9,11}

В* = {4,7,12,13,10}

Λ = [-2+4] [-1+ k·7] [-3-4- k·7] [-8+7+10-13+12] [-9-10+13-12] [-11+10-13]

θ = [-4-2+3][-7-k·1+k·3-8][-12-8+9][-13+8-9+11][-10-8+9-11]

Ψ1 = {Ø} Ψ2 = {2} Ψ3 = {1,3,4,8} Ψ4 = {7} Ψ5 = {9,11,12,13} Ψ6 = {10} Ψ7 = {Ø}

 

 

 

 

 

 

 

7. Формирование уравнений для определения напряжений ветвей базы и токов ветвей кобазы.

 

1. Неособые ветви базы и кобазы

= {2}         

2.Особые ветви базы и кобазы

Формирование системы уравнений для особых ветвей L-типа:

Ψ\ Ψ5 = {1,2,3,4,7,8,9,10,11,12,13}\{9,11,12,13} = {1,2,3,4,7,8,10}

 

Уравнение для ak = 9

Левая часть уравнения:

+()*=+()= =*

Правая часть уравнения:

 

=

 

 

Уравнение для ak = 11

Левая часть уравнения:

+()*=+()= =+*

Правая часть уравнения:

 

=

Таким образом система уравнений для определения напряжений особых ветвей базы L-типа имеет вид:

 

 

Формирование системы уравнений для особых ветвей С-типа:

Ψ\ Ψ3 = {1,2,3,4,7,8,9,10,11,12,13}\{1,3,4,8} = {2,7,9,10,11,12,13}

 

Уравнение для ak = 4

Левая часть уравнения:

 

Правая часть уравнения:

 

 

 

 

Таким образом уравнение для определения напряжения особой ветви базы С-типа имеет вид:

 

 

8. Формирование уравнений для определения токов ветвей базы и напряжений ветвей кобазы

B={2,1,3,8,9,11}

Получим уравнения для определения токов ветвей базы:

 

 

 

 

 

 

 

B*={4,7,12,13,10}

Получим уравнения для определения токов ветвей базы:

 

 

 

 

 

9.Формирование дифференциальных уравнений

B∩ Ψ3 = {1,3,8}

 

 

 

B*∩ Ψ5 = {12,13}

 

 

10.Полученные уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Сравним полученные уравнения с уравнениями, полученными в вычислительном комплексе «Ритм»

----------------------------------------------------------------------------

i(7-1) = [-4.00000E-01*u(1-1)+4.00000E-01*u(3-1)-u(8-1)] / R(7-1)

----------------------------------------------------------------------------

w(10-1) = dJ(10-1)/dt

w(12-1) = [-u(8-1)] / L(12-1)

w(13-1) = u(8-1) / L(13-1)

[1/L(9-1)+1/L(12-1)+1/L(13-1)]*u(9-1) + [-1/L(13-1)]*u(11-1) = -w(10-1)-w(12

-1)+w(13-1)

[-1/L(13-1)]*u(9-1) + [1/L(11-1)+1/L(13-1)]*u(11-1) = w(10-1)-w(13-1)

----------------------------------------------------------------------------

w(2-1) = dE(2-1)/dt

w(3-1) = [-4.00000E-01*i(7-1)] / C(3-1)

[1/C(4-1)+1/C(3-1)]*i(4-1) = -w(2-1)+w(3-1)

----------------------------------------------------------------------------

u(4-1) = -u(2-1)+u(3-1)

u(7-1) = -4.00000E-01*u(1-1)+4.00000E-01*u(3-1)-u(8-1)

u(10-1) = -u(8-1)+u(9-1)-u(11-1)

u(12-1) = -u(8-1)+u(9-1)

u(13-1) = u(8-1)-u(9-1)+u(11-1)

----------------------------------------------------------------------------

i(1-1) = 4.00000E-01*i(7-1)

i(2-1) = i(4-1)

i(3-1) = -i(4-1)-4.00000E-01*i(7-1)

i(8-1) = i(7-1)+i(10-1)+i(12-1)-i(13-1)

i(9-1) = -i(10-1)-i(12-1)+i(13-1)

i(11-1) = i(10-1)-i(13-1)

----------------------------------------------------------------------------

du(1-1)/dt = 4.00000E-01*i(7-1) / C(1-1)

du(3-1)/dt = [-i(4-1)-4.00000E-01*i(7-1)] / C(3-1)

du(8-1)/dt = [i(7-1)+i(10-1)+i(12-1)-i(13-1)] / C(8-1)

----------------------------------------------------------------------------

di(12-1)/dt = [-u(8-1)+u(9-1)] / L(12-1)

di(13-1)/dt = [u(8-1)-u(9-1)+u(11-1)] / L(13-1)

----------------------------------------------------------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.Опыт трёхфазного короткого замыкания

 

Расчётная схема:

Исходные данные:

Uн = 220 кВ; Sкз = 7250 МВА; f = 50 Гц; r = 0.1x; ;

Расчёт параметров цепи:

 

 

 

 

r = 0.01*x=0.664273

 

Максимальное значение ударного тока:

Ударный коэффициент и

 

 

Теоретический расчет времени замыкания (t0):

Переходный процесс при замыкании ключей в каждой фазе описываются дифференциальным уравнением:

 

Решение данного неоднородного дифференциального уравнения есть сумма частного решения неоднородного дифференциального уравнения (установившееся значение тока) ), а также общего решения соответствующего ему однородного (с нулевой правой частью) дифференциального уравнения (апериодическая составляющая тока):

 

 

Из начальных условий :

 

В итоге имеем ток переходного процесса в фазе:

 

Так как замыкание ключа происходит в момент времени то

 

 

Найдем производную от тока, чтобы найти такое время замыкания, при котором ток в фазе А достигнет максимального значения в последующем переходном процессе:

 

 

Первая часть производной достигает максимума при максимуме функции косинус, следовательно при минимуме функции синус.

Тогда при напряжении в цепи, изменяющемся по закону:

 

 

 

 

 

Найдем при n=1:

 

Моделирование процесса в программe РИТМ:

 

Максимальное значение ударного тока: i1уд = 4.67473* A

Амплитуда тока в установившемся режиме: I1m = 2.7269* А

Ударный коэффициент: 1,714

 

 

Проверка:

2)

3)

 

Сравним полученные значения:

1)При

2)При

3)При

Из данных видно, что время подобрано правильно.

 

Моделирование процесса в программe MATHCAD:

 

Исходные данные:

 

 

 

 

 

 

 

Графики i(t):

 

Данные из графиков:

Максимальное значение ударного тока: i1уд = 4,67241 A

Амплитуда тока в установившемся режиме:

Ударный коэффициент: 1,737

 

 

 

 

Выводы и анализ результатов:

 

Целью данной работы было изучение возможностей математического моделирования объектов электроэнергетики. На первом этапе работы для заданной расчётной схемы были получены уравнения переходных процессов вручную по универсальным алгоритмам. На втором этапе эти уравнения были получены с помощью вычислительного комплекса «РИТМ». Полученные вручную и на ЭВМ уравнения полностью совпали. На третьем этапе работы был промоделирован и рассчитан опыт трёхфазного короткого замыкания, по результатам которого построены графики токов короткого замыкания, а также определен ударный коэффициент (). Результаты расчёта и опыта практически совпадают (расхождение не более 1,5 %).