Из курса геометрии известно, что в прямоугольной декартовой системе координат уравнение прямой с угловым коэффициентом , проходящем через точку имеет вид

. (1)

Поэтому, подставив в уравнение (1) , получим уравнение касательной к кривой в точке :

. (2)

Как известно, условием перпендикулярности прямых, задаваемых уравнениями с угловыми коэффициентами и , является условие . Следовательно, уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

. (3)

Замечание: Уравнение (3) задает нормаль к графику функции в точке , если существует отличная от нуля производная .

Если , то касательная к кривой в такой точке будет параллельна оси , а ее уравнение будет иметь вид: . Из определения же нормали следует, что нормаль к кривой в такой точке будет перпендикулярна оси , а ее уравнение имеет вид .

Если же , то касательная к кривой в такой точке параллельна оси и ее уравнение имеет вид , а нормаль параллельна оси и ее уравнение имеет вид

Примеры: Найти уравнения касательной и нормали к кривым:

в точке с абсциссой

в точке с абсциссой

в точке с абсциссой

Решение:

1) Найдем значение функции в точке с : .

Далее найдем производную этой функции: . Теперь найдем

Составим уравнение касательной, для этого подставим найденные значения в уравнение (2):

– уравнение касательной

Составим уравнение нормали, для этого подставим найденные значения в уравнение (3):

– уравнение нормали.

2) Найдем значение функции в точке с абсциссой :

.

Найдем значение производной в точке :

.

Так как , то по замечанию уравнение касательной примет вид , то есть , а уравнение нормали , то есть .

3) Найдем значение функции в точке с абсциссой

.

Теперь найдем значение производной:

,

.

Подставив найденные значения в уравнение (2) получим уравнение касательной:

– уравнение касательной.

Подставив найденное значение в уравнение (3) получим уравнение нормали:

– уравнение нормали.

Упражнения:

1) В какой точке касательная к кривой параллельна прямой .

2) В какой точке касательная к кривой перпендикулярна прямой .

3) Кривая задана уравнением . Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси , проведенных к кривой в точках с абсциссами .

4) Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке .

5) Составить уравнение касательной и нормали к кривым в данных точках с абсциссами:

а)

б)

в)

г)

д) .

6) Найти координаты точки, в которой касательная к параболе образует угол в 135о с осью .

7) Найти скорость тела, движущегося по закону .

8) Тело движется прямолинейно по закону . Найти скорость тела в моменты , и .

9) Найти скорость движения тела в момент времени , если закон движения задан формулой: .

10) Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , равна нулю?

11) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе , проведенная в точке ? Составить уравнение этой касательной.

12) Найти угол наклона касательной к кубической параболе в точках с абсциссами , и .

13) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой в точке ?