Частотные методы исследования САР (САУ) основаны на рассмотрении установившейся реакции системы на гармоническое входное воздействие. Выбор таких воздействий обусловлен следующими причинами:

- реально встречающиеся воздействия, как правило, могут быть представлены в виде суммы гармоник различных частот на основе разложения Фурье;

- в установившихся режимах гармонические сигналы передаются линейными системами без искажения;

- обычно не возникает затруднений в экспериментальном исследовании поведения таких систем при гармонических воздействиях.

Пусть на вход линейного объекта (звена) поступает гармоническое воздействие

, (3.12)

представленное на рис. 3.5,

Рис. 3.5. Входное и выходное гармонические воздействия

где А – амплитуда гармонического воздействия; j - фаза сигнала; w - круговая частота; Т – период сигнала, причем .

В установившемся режиме, если система устойчива, по истечении достаточно большого промежутка времени в ней установится периодическое движение с той же частотой, но с другими амплитудой В и фазой y, т.е. сигнал

, (3.13)

также представленный на рис.3.5.

Изменения амплитуды и фазы выходного сигнала обусловлены как свойствами рассматриваемого объекта (видом дифференциального уравнения и значениями параметров), так и частотой. Частотные характеристики системы (элементов) описывают передаточные свойства системы и ее звеньев в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием.

Отношение амплитуд В/А и разность фаз Dj=y-j являются функциями частоты, графики которых называются амплитудно-частотными

(3.14)

и фазовыми частотными

(3.15)

характеристиками. Они показывают, что в линейной системе амплитуда и фаза гармонического сигнала в установившемся режиме изменяются при каждом значении частоты w.

Частотной амплитудно-фазовой функцией (частотной передаточной функцией) W(jw) называется функция изменения амплитуды и фазы выходной переменной системы в установившемся режиме при приложении на вход гармонического воздействия. График частотной передаточной функции W(jw) называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Частотная передаточная функция W(jw) получается на основе преобразования Фурье, являющимся частным случаем преобразования Лапласа при р=jw:

. (3.16)

На практике частотную передаточную функцию W(jw) получают путем замены в передаточной функции

(3.17)

р® jw . В итоге W(jw) имеет вид:

. (3.18)

Частотная передаточная функция является комплексно-частотной функцией, которая на комплексной плоскости представляется, так как показано на рис. 3.6.

Тогда можно записать, что

. (3.19)

Из рис. 3.6 видно, что АФЧХ представляет собой годограф, определяющий геометрическое место точек для вектора с модулем А(w).

Амплитудно-частотной характеристикой называется график функции А(w), определяемой выражением:

, (3.20)

Рис. 3.6. Амплитудно-фазовая частотная характеристика САР

которая характеризует закон изменения соотношения амплитуд выходного и входного сигналов в зависимости от частоты. Примерный график амплитудно-частотной характеристикой для статической системы приведен на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Амплитудная частотная характеристика статической САР

Фазовой частотной характеристикой j(w) называется график функции

, (3.21)

которая характеризует фазу выходного сигнала в зависимости от частоты задающего воздействия, примерный вид которой для статической системы представлен на рис. 3.8.

Вещественной частотной характеристикой P(w) называется график функции

, (3.22)

Рис. 3.8. Фазовая частотная характеристика статической САР

представленный на рис. 3.9.

Рис. 3.9.Вещественная частотная характеристика статической САР

Особенность функции Р(w) является ее четность, т.е. .

Мнимой частотной характеристикой Q(w) (МЧХ) называется график функции Q(w), определяемой по выражению:

, (3.23)

примерный график которой приведен на рис. 3.10. Функция Q(w) является нечетной функцией, т.е.